Теорема БезуИменем учёного названа одна из основных теорем алгебры. Теорема Безу. Остаток от деления полинома P n ( x ) на двучлен ( x - a ) равен значению этого полинома при x = a . Пусть : P n ( x ) – данный многочлен степени n , двучлен ( x - a ) - его делитель, Q n -1 ( x ) – частное от деления P n ( x ) на x - a (многочлен степени n -1 ) , R – остаток от деления ( R не содержит переменной x как делитель первой степени относительно x ). Доказательство : Согласно правилу деления многочленов с остатком можно записать : P n (x) = (x-a)Q n-1 (x) + R . Отсюда при x = a : P n (a) = (a-a)Q n-1 (a) + R =0*Q n-1 (a)+R= =0+ R = R . Значит , R = P n ( a ) , т.е. остаток от деления полинома на ( x - a ) равен значению этого полинома при x = a , что и требовалось доказать . Следствия из теоремы . Следствие 1 : Остаток от деления полинома P n ( x ) на двучлен ax + b равен значению этого полинома при x = - b / a , т . е . R= P n (-b/a) . Доказательство : Согласно правилу деления многочленов : P n (x)= (ax + b) * Q n-1 (x) + R . При x= -b/a : P n (-b/a) = (a ( -b/a ) + b)Q n-1 (-b/a) + R = R. Значит , R = P n (- b / a ) , что и требовалось доказать. |
Теорема Безу