Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения

Определение 2: Кривая называется кусочно-гладкой ,если она состоит из конечного числа гладких дуг.

Основные свойства : Пусть на комплексной плоскости Z задана кусочно-гладкая кривая С длиной l , используя параметрическое задание кривой С зададим h( t ) и x ( t ), где h и x являются кусочно - гладкими кривыми от действительной переменной t . Пусть a b, причем a и b могут быть бесконечными числами . Пусть x и h удовлетворяют условию : [ x ‘(t)] 2 + [ h ‘(t)] 2 ¹ 0. Очевидно, что задание координат h = h( t ) и x = x ( t ), равносильно заданию комплексной функции z ( t )= x (t) + i h (t). Пусть в каждой точке z ( t ) кривой С определена некоторая функция f ( z ). Разобьем кривую С на n – частичных дуг точками деления z 0 , z 1 , z 2 , …, z n-1 соответствующие возрастающим значениям параметра t , т.е. t 0 , t 1 , …, t i+1 > t i . D z i = z i – z i-1 . Составим интегрируемую функцию S = f ( z *) D z i . (1) где z *– производная точки этой дуги. Если при стремлении max | D z i | ® 0 существует предел частных сумм не зависящий ни от способа разбиения кривой С на частичные дуги, ни от выбора точек z i , то этот предел называется интегралом от функции f ( z ) по кривой С. (2) f ( z i * ) = u (P i *) + iv (P i *) (3) где D z i = D x (t) + i D h (t) ( x (t) и h (t) - действительные числа) Подставив (3) в (1) получим : (4) Очевидно, что (4) состоит из суммы двух частных сумм, криволинейных интегралов действительной переменной.

Переходя в (4) к пределу при D x и D h ® 0 и предполагая, что данные пределы существуют, получаем : (5) Заметим, что для существования криволинейного интегралов, входящих в (5), а тем самым и для существования интеграла (2) достаточно кусочной непрерывности функций u и v . Это означает, что (2) существует и в случае неаналитичности функции f ( z ) . Сформулируем некоторые свойства интеграла от функции комплексной переменной. Из равенства (5) следуют свойства : О ограниченности интеграла.

Известно, что если функции P(x, y) и Q(x, y) являются непрерывными в некоторой заданной области G , ограниченны кусочно-гладкой кривой С, а их частные производные 1-го порядка непрерывны в G , то имеет место формула Грина: ( 8 ) ТЕОРЕМА : Пусть в односвязной области G задана аналитическая функция f(Z) , тогда интеграл от этой функции по замкнутому контуру Г целиком лежащему в G , равен нулю.

Доказательство : из формулы (5) следует: Т.к. f( z ) аналитическая всюду, то U(x, y), V(x, y) - непрерывны в области, ограниченной этим контуром и при этом выполняются условия Коши-Римана.

Используя свойство криволинейных интегралов : Аналогично : По условию Коши-Римана в последних равенствах скобки равны нулю, а значит и оба криволинейных интеграла равны нулю.

Отсюда : ТЕОРЕМА 2 (Вторая формулировка теоремы Коши) : Если функция f( z ) является аналитической в односвязной области G , ограниченной кусочно-гладким контуром C, и непрерывна в замкнутой области G , то интеграл от такой функции по границе С области G равен нулю. TEOPEMA 3 (Расширение теоремы Коши на многосвязную область) : f ( z ) является аналитической функцией в многосвязной области G, ограниченной извне контуром С 0 , а изнутри контурами С 1 , С 2 , .. ,С n ( см. рис.). Пусть f ( z ) непрерывна в замкнутой области G , тогда : , где С – полная граница области G, состоящая из контуров С 1 , С 2 , .. , С n . Причем обход кривой С осуществляется в положительном направлении.

Неопределенный интеграл.

Интеграл Коши. Вывод формулы Коши.

Интеграл, стоящий в (9) в правой части выражает значение аналитической функции f( z ) в некоторой точке Z 0 через ее значение на произвольном контуре g , лежащем в области аналитичности функции f( z ) и содержащем точку Z 0 внутри.

Очевидно, что если бы функция f( z ) была аналитична и в точках контура С, то в качестве границы g в формуле (9) можно было использовать контур С. Приведенные рассуждения остаются справедливыми и в случае многосвязной области G . Следствие : Интеграл Коши, целиком принадлежащий аналитической области G имеет смысл для любого положения Z 0 на комплексной плоскости при условии, что эта точка есть внутренней точкой области Г. При этом если Z 0 принадлежит области с границей Г, то значение интеграла равно (9), а если т . Z 0 принадлежит внешней области, то интеграл равен нулю : При Z 0 Г указанный интеграл не существует.

Интегралы, зависящие от параметра.

Рассматривая интеграл Коши, видим, что подинтегральная функция зависит от 2-х комплексных переменных : переменной интегрирования z и Z 0 . Таким образом интеграл Коши может быть рассмотрен как интеграл, зависящий от параметра, в качестве которого выбираем точку Z 0 . Пусть задана функция двух комплексных переменных j (Z, z ), причем Z= x + iy в точке, принадлежащей некоторой комплексной плоскости G. z = x + i h С. (С - граница G). Взаимное расположение области и кривой произвольно. Пусть функция j (Z, z ) удовлетворяет условиям : 1) Функция для всех значений z С является аналитической в области G . 2) Функция j (Z, z ) и ее производная ¶j/¶Z являются непрерывными функциями по совокупности переменных Z и z при произвольном изменении области G и переменных на кривой С. Очевидно, что при сделанных предположениях : Интеграл существует и является функцией комплексной переменной.

Справедлива формула : (2) Эта формула устанавливает возможность вычисления производной от исходного интеграла путем дифференцирования подинтегральной функции по параметру. ТЕОРЕМА. Пусть f(Z) является аналитической функцией в области G и непрерывной в области G (G включая граничные точки ), тогда во внутренних точках области G существует производная любого порядка от функции f(Z) причем для ее вычисления имеет место формула : (3) С помощью формулы (3) можно получить производную любого порядка от аналитической функции f (Z) в любой точке Z области ее аналитичности. Для доказательства этой теоремы используется формула (2) и соответственные рассуждения, которые привели к ее выводу. ТЕОРЕМА МОРЕРА. Пусть f(Z) непрерывна в односвязной области G и интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру, целиком принадлежащему G равен 0. Тогда функция f (Z) является аналитической функцией в области G . Эта теорема обобщается и на случай многосвязной области G . Разложение функции комплексного переменного в ряды. Если функция f(x, y) определена и непрерывна вместе с частными производными (до n -го порядка ), то существует разложение этой функции в ряд Тейлора : Итак, если задана функция f (z) комплексного переменного, причем f (z) непрерывная вместе с производными до nго порядка, то: (2) – разложение в ряд Тейлора.

Формула (2) записана для всех Z принадлежащих некоторому кругу | Z-Z 0 | Функция f (z) , которая может быть представлена в виде ряда (2) является аналитической функцией.

Неаналитическая функция в ряд Тейлора не раскладывается. (3) (4) (5) Причем | Z | R ® . Формулы ЭЙЛЕРА. Применим разложение (3) положив, что Z = ix и Z= - ix; (6) Аналогично взяв Z = - ix получим : (7) Из (6) и (7) можно выразить т.н. формулы Эйлера : (8) В общем случае : (9) Известно, что : (10) Тогда из (9) и (10) вытекает связь между тригонометрическими и гиперболическими косинусами и синусами: Ряд ЛОРАНА. Пусть функция f(z) является аналитической функцией в некотором круге радиусом R, тогда ее можно разложить в ряд Тейлора (2). Получим тот же ряд другим путем. ТЕОРЕМА 1. Однозначная функция f(Z) аналитическая в круге радиусом |Z-Z 0 | 0 . Опишем в круге радиусом R окружность r, принадлежащую кругу с радиусом R. Возьмем в круге радиуса r точку Z, а на границе области точку z , тогда f(z) будет аналитична внутри круга с радиусом r и на его границе.

Выполняется условие для существования интеграла Коши : (13) (11) Поскольку можно представить как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем (12) Представим равномерно сходящимся рядом в круге радиуса r , умножая (12) на 1/(2 p i ) и интегрируя по L при фиксированном Z, получим : слева интеграл (13) который равен f (Z) , а справа будет сумма интегралов : Обозначая (14) Это разложение функции f (Z) в круге R в ряд Тейлора.

Сравнивая (14) с рядом (2) находим, что (15) ТЕОРЕМА 2. Если однозначная функция f(Z) аналитична вне круга с радиусом r с центром в точке Z 0 для всех Z выполняется неравенство r 0 |, то она представляется рядом : (16) где h - ориентированная против часовой стрелки окружность радиуса r (сколь угодно большое число). Если обозначить (17) , получим : (18) ТЕОРЕМА 3. Если однозначная функция f(Z) аналитическая в кольце Z 0 | 0 Z , то она раскладывается в сходящийся степенной ряд : (19) f 1 и f 2 можно представить в виде двух рядов : (20) (21) Ряд (19) – ряд Лорана, при этом ряд (20) сходится в круге радиуса R , ряд (21) сходится вне круга радиуса R функции f 2 (Z). Общая область сходимости ряда – кольцо между r и R. f 1 (Z) – правильная часть. f 2 (Z) – главная часть ряда Лорана. Ряд Тейлора – частный случай ряда Лорана при отсутствии главной его части.

Классификация изолированных особых точек.

Вычеты. Определение 1. Особой точкой функции f(Z) определенной в области (замкнутой) G, ограниченной Жордановой кривой, называется точка Z=Z 0 G в которой аналитичность функции f1(Z) нарушается.

Рабочая точка Z=Z 0 функции f(Z), ограниченной в круге |Z-Z0| f(Z) в каждой точке этого круга аналитична, кроме самой точки Z=Z 0 . В зависимости от поведения функции f(Z) в окрестности изолированных особых точек последние классифицируются на : 1) 2) 3) не существует, то точка Z=Z 0 называется существенной особой точкой. Если С - n =0, то особая точка есть устранимая особая точка. Пусть f(Z 0 )=C 0 и C -n для всех n=1,2,3,..,m отличного от 0, а для всех n ® m+1 C -n =0, тогда Z=Z 0 будет являться полюсом порядка m. При m>1 такой полюс будет называться простым. ® , то в этом случае в точке Z=Z 0 имеем существенную особенность.

Определение 2. Вычетом функции f(Z) в круге |Z-Z 0 | , где L – ориентированный против часовой стрелки контур целиком расположенный в круге радиуса R , содержащем Z 0 . Вычет существует только для изолированных особых точек.