Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения

Заключение 15 стр.

Список используемой литературы 16 стр. ВВЕДЕНИЕ В школьном курсе алгебры рассматриваются различные виды уравнений – линейные, квадратные, биквадратные, кубические, рациональные, с параметрами, иррациональные и другие.

Данная курсовая работа посвящена иррациональным уравнениям, методам их решения. Кроме того, в работе введены понятия уравнений следствий и равносильных уравнений, а также приведены примеры задач, математическими моделями которых служат иррациональные уравнения. В данной работе содержится небольшая историческая справка, посвященная введению иррациональных чисел 1. ИЗ ИСТОРИИ Термин «рациональное» (число) происходит от латиноамериканского слова ratio – отношение, которое является переводом греческого слова “логос”в отличие от рациональных чисел, числа, выражающие отношение несоизмеримых величин, были названы еще в древности иррациональными, т.е. нерациональными (по-гречески “алогос”) правда, первоначально термины “рациональный” и “иррациональный” относились не к числам, а к соизмеримым и соответственно не соизмеримым величинам, которые пифагорейцы называли выразимыми и невыразимыми, Теодор Киренский же симметричными и ассимметричными. В V - VI вв. римские авторы Капелла и Кассиодор переводили эти термины на латынь словами rationalis и irrationalis . Термин «соизмеримый» ( commensurabilis ) ввел в первой половине VI в. другой римский авторБоэций.

Древнегреческие математики классической эпохи пользовались только рациональными числами (вернее целыми, дробными и положительными). В своих «Началах» Евклид излагает учение об иррациональностях чисто геометрически.

Математики Индии, Ближнего и Среднего Востока, развивая алгебру, тригонометрию и астрономию, не могли обойтись без иррациональных величин, которые, однако, длительное время не признавали за числа. Греки называли иррациональную величину, например, корень из квадратного числа, «алогос» – невыразимое словами, а позже европейские переводчики с арабского на латынь перевели это слово латинским словом surdus – глухой. В Европе термин surdus - глухой впервые появился в середине XII в. у Герарда Кремонского, известного переводчика математических прозведений с арабского на латынь, затем у итальянского математика Леонардо Фабоначчи и других европейских математиков, вплоть до XVIII в.

Правда уже в XVI в.

Отдельные ученые, в первую очередь итальянский математик Рафаэль Бомбелли и нидерландский математик Симон Стевин считали понятие иррационального числа равноправным с понятием рационального числа.

Стевин писал: «Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной закономерностью.» Еще до Бомбелли и Стевина многие ученые стран Среднего Востока в своих трудах употребляли иррациональные числа как полноправные объекты алгебры. Более того, комментируя «Начала» Евклида и исследуя общую теорию отношения Евдокса, Омар Хайям уже в начале XII в. теоретически расширяет понятие числа до положительного действительного числа. В том же направлении много было сделано крупнейшим математиком XIII в. ат-Туси.

Математики и астрономы Ближнего и Среднего Востока вслед за астрономами древнего Вавилона и эллинистической эпохи широко пользовались шестидесятеричными дробями, арифметические действия с которыми они называли «арифметикой астрономов». По аналогии с шестидесятеричными дробями самаркандский ученый XV в. ал-Каши в работе «Ключ арифметики» ввел десятичные дроби которыми он пользовался для повышения точности извлечения корней.

Независимо от него по такому же пути шел открывший в 1585 г . десятичные дроби в Европе Симон Стевин, который в своих «приложениях к алгебре» ( 1594 г .) показал, что десятичные дроби можно использовать для бесконечно близкого приближения к действительному числу. Таким образом, уже в XVI в. зародилась идея о том, что естественным аппаратом для введения и обоснования понятия иррационального числа являются десятичные дроби.

Появление «Геометрии» Декарта облегчило понимание связи между измерением любых отрезков (и геометрических величин вообще) и необходимости расширения понятия рационального числа. На числовой оси иррациональные числа, как и рациональные, изображаются точками. Это геометрическое толкование позволило лучше понять природу иррациональных чисел и способствовало их признанию. В современных учебных руководствах основа определения иррационального числа опирается на идеи ал-Каши, Стевина и Декарта об измерении отрезков и о неограниченном приближении к искомому числу с помощью бесконечных десятичных дробей.

Однако обоснованием свойств действительных чисел и полная теория их была разработана лишь в XIX в. 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. Равносильные уравнения.

Следствия уравнений. При решении уравнений выполняются различные тождественные преобразования над выражениями, входящими в уравнение. При этом исходное уравнение изменяется другими, имеющими те же корни. Такие уравнения называются равносильными.

Определение: Уравнение f ( x )= g ( x ) равносильно уравнению f 1 ( x )= g 1 ( x ), если каждый корень первого уравнения является корнем второго и обратно, каждый корень второго уравнения является корнем первого, т.е. их решения совпадают.

Например, уравнения 3 x -6=0 ; 2х–1=3 равносильны, т.к. каждое из уравнений имеет один корень х=2. Любые два уравнения, имеющие пустое множество корней, считают равносильными. Тот факт, что уравнения f ( x )= g ( x ) и f 1 ( x )= g 1 ( x ) равносильны, обозначают так:

f ( x )= g ( x ) f 1 ( x )= g 1 ( x ) В процессе решения уравнений важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.

Теорема 1: Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак, то получим уравнение, равносильное данному.

Доказательство: Докажем, что уравнение f ( x ) = g ( x )+ q ( x ) (1) равносильно уравнению f ( x ) – q ( x ) = g ( x ) (2) Пусть х=а – корень уравнения.

Значит имеет место числовое равенство f ( a )= g ( a )+ q ( a ) . Но тогда по свойству действительных чисел будет выполняться и числовое равенство f ( a )- q ( a )= g ( a ) показывающее, что а – корень уравнения (2). Аналогично доказывается, что каждый корень уравнения (2) является и корнем уравнения (1). Что и требовалось доказатью.

Теорема 2: Если обе части уравнения умножить или разделить на отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Доказательство: докажем, что уравнение 6х–3=0 равносильно уравнению 2х–1=0 решим уравнение 6х–3=0 и уравнение 2х–1=0 6х=3 2х=1 х=0,5 х=0,5 так как корни уравнений равны, то уравнения равносильны. Что и требовалось доказать.

Рассмотрим уравнение

ОДЗ этого уравнения {х 1, х -3} Мы знаем, что дробь равна нулю в том случае, когда ее числитель равен нулю, т.е. х²+х–2=0, а знаменатель не равен 0. Решая уравнение х²+х–2=0, находим корни х 1 =1 , х 2 = –2 . Но число 1 не входит в ОДЗ данного уравнения и значит, исходное уравнение имеет один корень х=-2. В этом случае говорят, что уравнение х²+х–2=0, есть следствие уравнения пусть даны два уравнения: f 1 ( x ) = g 1 ( x ) (3) f 2 ( x ) = g 2 ( x ) (4) Если каждый корень уравнения (3) является корнем уравнения (4), то уравнение (4) называют следствием уравнения (3). Этот факт записывают так: В том случае, когда уравнение (3) - есть также следствие уравнения (4), эти уравнения равносильны. Два уравнения равносильны в том, и только в том случае, когда каждое из них является следствием другого. В приведенном выше примере уравнение – следствие х²+х–2=0, имеет два корня x 1 =1 и х 2 =-2 , а исходное уравнение имеет один корень х=-2. В этом случае корень х=1 называют посторонним для исходного уравнения В общем случае корни уравнения-следствия, не являющиеся корнями исходного уравнения, называют посторонними. Итак, если при решении уравнения происходит переход к уравнению – следствию, то могли появиться посторонние корни. В этом случае все корни уравнения-следствия нужно проверить, подставляя их в исходное уравнение. В некоторых случаях выявление посторонних корней облегчается знанием ОДЗ исходного уравнения – корни, не принадлежащие ОДЗ, можно сразу отбросить. Так, в приведенном примере посторонний корень х=1 не входит в ОДЗ уравнения и потому отброшен. Иногда посторонние корни могут появиться и при тождественных преобразованиях, если они приводят к изменению ОДЗ уравнения.

Например, после приведения подобных членов в левой части уравнения ОДЗ которого {х ¹ -2}, получим уравнение следствие х²-4=0 имеющее два корня х 1 = 2 , х 2 = -2 корень х 2 = -2 – посторонний, так как не входит в ОДЗ исходного уравнения. В тех случаях, когда в результате преобразований произошел переход от исходного уравнения к уравнению, не являющемуся его следствием, возможна потеря корней.

Например, уравнение (х+1)(х+3)= х+1 (5) Имеет два корня.

Действительно, перенося все члены уравнения в левую часть и вынося х+1 за скобки, получим (х+1)(х+2)=0, откуда находим х 1 =-1, х 2 =-2 . Если же обе части уравнения (5) разделить («сократить») на х+1, то получим уравнение х+3=1, имеющее один корень х=-2. В результате такого преобразования корень х=-1 потерян.

Поэтому делить обе части уравнения на выражение, содержащее переменную, можно лишь в том случае, когда это выражение отлично от нуля. Для того, чтобы в процессе решения уравнения избежать потери корней, необходимо следить за тем, чтобы переход осуществлялся либо к равносильным уравнениям, либо к уравнениям-следствиям. 2.2. Определение иррациональных уравнений . Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень.

Например: 3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 3.1. Решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Пример №1

Решить уравнение
Возведем обе части уравнения (1) в квадрат: далее последовательно имеем: 5х – 16 = х² - 4х + 4 х² - 4х + 4 – 5х + 16 = 0 х² - 9х + 20 = 0 Проверка: Подставив х=5 в уравнение (1), получим – верное равенство.

Подставив х= 4 в уравнение (1), получим – верное равенство.

Значит оба найденных значения – корни уравнения. Ответ: 4; 5. Пример №2 Решить уравнение: (2) Решение: Преобразуем уравнение к виду: и применим метод возведения в квадрат: далее последовательно получаем.

Разделим обе части последнего уравнения почленно на 2: еще раз применим метод возведения в квадрат: далее находим: 9(х+2)=4–4х+х² 9х+18–4+4х-х²=0 -х²+13х+14=0 х²-13х–14=0 х 1 +х 2 =13 х 1 =19 х 1 х 2 = -14 х 2 = -1 по теореме, обратной теореме Виета, х 1 =14, х 2 = -1 корни уравнения х²-13х–14 =0 Проверка: подставив значение х=-14 в уравнение (2), получим– - не верное равенство.

Поэтому х = -14 – не корень уравнения (2). Подставив значение x =-1 в уравнение (2), получим- - верное равенство.

Поэтому x =-1- корень уравнения (2). Ответ: -1 3.2 Метод введения новых переменных . Решить уравнение Решение: Конечно, можно решить это уравнение методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Но можно решить и другим способом – методом введения новых переменных. Введем новую переменную Тогда получим 2 y ²+ y –3=0 – квадратное уравнение относительно переменной y . Найдем его корни: Т.к. , то – не корень уравнения, т.к. не может быть отрицательным числом . А - верное равенство, значит x =1- корень уравнения. Ответ: 1. 3.3. Искусственные приёмы решения иррациональных уравнений.

Решить уравнение: (1) Решение: Умножим обе части заданного уравнения на выражение сопряжённое выражению Так как То уравнение (1) примет вид: Или Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом известен. Тогда x 1 =0.Остаётся решить уравнение: (2) Сложив уравнения (1) и (2), придём к уравнению (3) Решая уравнение (3) методом возведения в квадрат, получим: Проверка: x 1 =0, x 2 =4, x 3 = -4 подставим в уравнение 1) - не верное равенство, значит x 1 =0- не корень уравнения. 2) - верное равенство, значит x 2 =4 - корень уравнения. 3) - не верное равенство, значит x 3 = -4 - не корень уравнения. Ответ: 4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Итак, уравнения, которые содержат переменную под знаком корня, называются иррациональными.

Иррациональные уравнения решаются в основном возведением обеих частей уравнения в квадрат (или n -ую степень) или введением новой переменной. Кроме того, пользуются и искусственными приемами решения иррациональных уравнений. СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ. 1) А.Г.Мордкович.

Алгебра 8 класс.

Учебник для общеобразовательных учреждений - Москва: Издательство «Мнемозина», 1999. 2) М.Я.Выгодский.

Справочник по элементарной математике - Москва: Издательство «Наука», 1986. 3) А.П.Савин.

Энциклопедический словарь юного математика – Москва: Издательство «Педагогика», 1989. 4) А.И.Макушевич.

Детская энциклопедия – Москва: Издательство «Педагогика», 1972. 5) Н.Я.Виленкин.

Разное

Подобные работы

Дискретная математика (Конспекты 15 лекций)

echo "Введем обозначения. R – множество действительных чисел. X e R – элемент X принадлежит множеству R. Равные множества – множества, состоящие из одинаковых элементов. A = B – множество А равно множ

Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана

echo "Характеристики. ............................ PAGEREF _Toc518782324 h 9 §3. Формула Остроградського-Гаусса. ............................................ PAGEREF _Toc518782325 h 12 §4. Існування т

Построение графика функции различными методами (самостоятельная работа учащихся)

echo "Необходимо сформировать у них умение оперировать приобретенными знаниями, применять их в новых ситуациях, делать самостоятельные выводы и обобщения, находить решения в нестандартных условиях. В

Разбиения выпуклого многоугольника

echo "Вывести формулу для числа таких разбиений. Определение: назовем правильным разбиением выпуклого n -угольника на треугольники диагоналями, пересекающимися только в вершинах n -угольника. "; echo

Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения

echo "Определение 2: Кривая называется кусочно-гладкой ,если она состоит из конечного числа гладких дуг. Основные свойства : Пусть на комплексной плоскости Z задана кусочно-гладкая кривая С длиной l

Синтез оптимальных уравнений

echo "Обычно переход управляемого объекта из одного состояния в другое может быть осуществлён многими различными способами. Поэтому возникает вопрос о выборе такого пути, который с некоторой (но впол

Иррациональные уравнения

echo "Заключение 15 стр. Список используемой литературы 16 стр. ВВЕДЕНИЕ В школьном курсе алгебры рассматриваются различные виды уравнений – линейные, квадратные, биквадратные, кубические, рациональн

Теорема Безу

echo "Именем учёного названа одна из основных теорем алгебры. Теорема Безу. Остаток от деления полинома P n ( x ) на двучлен ( x - a ) равен значению этого полинома при x = a . Пусть : P n ( x ) – д