Гармонические колебания и их характеристики

Гармонические колебания и их характеристики

Колебательные процесс широко распространены в природе и технике, например качания маятника часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и ток в цепи.

Физическая природа колебаний может быть разной поэтому различают колебания механические, электромагнитные и другие.

Однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями.

Отсюда следует целесообразность единого подхода к изучению колебаний различной физической природы.

Например ,единый подход к изучению механических и электромагнитных колебаний применялся английским физиком Д. У. Релеем (1842-1919), а А.Г. Столетовым, русским инженером-экспериментатором П.Н. Лебедевым (1866-1912). Большой вклад в развитие теории колебаний внесли: Л.И. Мандельштам (1879-1944) и его ученики.

Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально совершенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему (систему, совершающую колебания). Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых колеблющаяся величина изменятся со временем по закону синуса (косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам : 1. Колебания встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому; 2. Различные периодические процессы (процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармонических колебаний.

Гармонические колебания величины s описываются уравнением типа s =A cos ( w 0 t + j ) , (1) где n А - максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания, n w 0 - круговая (циклическая) частота , n j - начальная фаза колебания в момент времени t=0 , n ( w 0 t + j ) - ф аза колебания в момент времени t. Фаза колебания определяет значения колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус изменяется в пределах от 1 до -1, то s может принимать значения от +А до -А. Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, называемый периодом колебания, за который фаза колебания получает приращение равное 2 p , т.е. w 0 ( t+T)+ j =( w 0 t+ j )+2 p , откуда T=2 p / w 0 (2) Величина, обратная периоду колебаний, n =1 /T (3) т. е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний.

Сравнивая (2) и (3), получим w 0 =2 p n . Единица частоты - герц (Гц): 1 Гц - частота периодического процесса, при которой за 1 секунду совершается 1 цикл процесса.

Запишем первую и вторую производные по времени от гармонически колеблющейся величины s : (4) (5) т. е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой.

Амплитуды величин (5) и (4) соответственно равны и . Фаза величины (4) отличается от фазы величины (1) на p /2 , а фаза величины (5) отличается от фазы величины (1) на p . Следовательно, в моменты времени, когда s=0, s достигает максимального отрицательного значения, то приобретает наибольшее положительное значение ( см. рисунок 1 ). Из выражения (5) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний (6) где s =A cos ( w 0 t + j ). Решением этого уравнения является выражение (1). Гармонические колебания изображаются графически методом вращающегося вектора амплитуды, или методом векторных диаграмм. Для этого из произвольной точки О, выбранной на оси x под углом j , равным начальной фазе колебания, откладывается вектор А, модуль которого равен амплитуде А рассматриваемого колебания (см. рисунок 2). Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью w 0 , равной циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси x и принимать значения от -А до +А , а колеблющаяся величина будет изменяться со временем по закону s =A cos ( w 0 t + j ). Таким образом, гармоническое колебание можно представить проекцией на некоторую произвольно выбранную ось вектора амплитуды А, отложенного из произвольной точки оси под углом j , равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью w 0 вокруг этой точки. В физике часто применяется другой метод, который отличается от метода вращающегося вектора амплитуды лишь по форме. В этом методе колеблющуюся величину представляют комплексным числом.

Согласно формуле Эйлера, для комплексных чисел (7) где - мнимая единица.

Поэтому уравнение гармонического колебания (1) можно записать в комплексной форме: (8) вещественная часть выражения (8) представляет собой гармоническое колебание.

Обозначение Re вещественной части опускают и записывают в виде . В теории колебаний принимается, что колеблющаяся величина s равна вещественной части комплексного выражения, стоящего в этом равенстве справа.

Задачи. 1.Амплитуда гармонических колебаний материальной точки равна 5 см. Масса материальной точки 10 г и полная энергия колебаний дж.

Разное

Подобные работы

Радиолокация

echo "Впервые идею радиолокации высказал научный сотрудник Ленинградского электрофизического института (ЛЭФИ) П.К. Ощепков еще в 1932 году. Позднее он же предложил идею импульсного излучения. 16 янва

Радиоматериалы и радиокомпоненты

echo "Благодаря перекрытию оболочек электроны могут без изменения энергии посредством обмена переходить от одного атома к другому, то есть перемещаться по кристаллу. Обменное взаимодействие имеет чис

Справочник Абонента (сотового телефона)

echo "Дисплей "; echo ''; echo " "; echo ''; echo " Буквенно-цифровые символы используются для отображения сообщений и номера телефона. "; echo ''; echo " Уровень заряда батареи – чем больше сегментов

Особенности и классификация систем подвижной радиосвязи (СПРС)

echo "Транкинговый принцип положен в основу всех коммерческих систем радиосвязи. Наиболее распространенным средством подвижной связи являются радиально-зоновые (транкинговые) системы и сотовые систем

Автоматизированные технологические комплексы

echo "Сложность такой подготовки обусловлена техническим прогрессом в электронной и приборостроительной промышленностях. За последнее десятилетие эти отросли освоили выпуск средств автоматического кон

Электрорадиоматериалы. Методические указания к лабораторным работам

echo "Электрорадиоматериалы. Методические указания к лабораторным работам./ Под ред. С.А.Гусева. Изд. второе пер. и доп.; Балт. гос. техн. ун -т, СПб., 2000, с. Ил. 26, табл. 18. © Содержание TOC o '

Цифровые фотоаппараты

echo "Причем благодаря Интернету. Это действительно удобно: сделал снимок, “загнал” его в ноутбук и через Сеть передал куда нужно... От момента съемки до момента получения снимка в редакции проходит о

Исследование помехоустойчивого канала передачи данных методом имитационного моделирования на ЭВМ

echo "Параметры источников занесем в таблицу 1 и сравним : Таблица 1 Параметр источника Регистровый способ Способ ГСЧ Вероятностные характеристики КСП без учета зависимости между символами