Вынужденные колебания

Уравнение второго закона Ньютона при наличии силы трения имеет вид (1.2) Применим следующие обозначения (1.3) Тогда (1.4) Где 0 — собственная частота колебательной системы. Будем искать решение уравнения в виде (1.5) Найдём первую и вторую производные Подставим выражения в уравнение (1.5) Сократим на (1.6) Решение уравнения (1.6) зависит от знака коэффициента, стоящего при и.

Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положителен (т. е. b 0 — трение мало). Введя обозначение придем к уравнению Решением этого уравнения будет функция Подставляя это выражение в уравнение (1.5), имеем Здесь A 0 и — постоянные, значения которых зависят от начальных условий, — величина, определяемая формулой Скорость затухания колебаний определяется величиной , которую называют коэффициентом затухания. Для характеристики колебательной системы употребляется также величина называемая добротностью колебательной системы. Она пропорциональна числу колебаний N e , совершаемых системой за то время t , за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

Вынужденные колебания.

Допустим, что механическая колебательная система подвергается действию внешней силы, изменяющейся со временем по гармоническому закону: (2.1) В этом случае уравнение второго закона Ньютона имеет вид Введя обозначения (1.3), преобразуем уравнение приобретёт вид: (2.2) Здесь b — коэффициент затухания, 0 — собственная частота колебательной системы, — частота вынуждающей силы.

Дифференциальное уравнение (2.2) описывает вынужденные колебания.

Решение этого уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения уже найдено (1.7), оно имеет вид Где Попробуем найти частное решение (2.2) в виде (2.4) где — неизвестный пока сдвиг фаз между силой и вызываемыми ею колебаниями. (2.5) (2.6) Развернем и по формулам для синуса и косинуса разности и подставим в формулу (2.2) Сгруппируем члены уравнения: (2.7) Уравнение (2.7) будет тождественно при любых значениях t тогда, когда коэффициенты при cos t и sin t в обеих частях уравнения будут одинаковыми. (2.8) (2.9) Найдём значения A и при которых функция (2.4) удовлетворяет уравнению (2.2). Для этого возведём равенства (2.8) и (2.9) в квадрат и сложим их друг с другом (2.10) Из (2.9) следует, что (2.11) Подставим значения A и (2.12) Общее решение имеет вид Первое слагаемое играет заметную роль только в начальной стадии процесса, при установлении колебаний. С течением времени из-за экспоненциального множителя роль слагаемого уменьшается, и по прошествии достаточного времени им можно пренебречь, сохранив в решении только второе.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (2.10) приводит к тому, что при некоторой частоте амплитуда достигает максимального значения.

Колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие вынуждающей силы при данной частоте. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота — резонансной частотой. Для того чтобы определить резонансную частоту рез , нужно найти максимум функции (2.10), т.е. продифференцировать это выражение по и приравняв производную нулю: Решения этого уравнения =0 и решение, равное нулю, соответствует максимуму знаменателя, а не имеет физического смысла ( частота не может быть отрицательной). (2.13). Следовательно (2.14) b . Чем меньше b , тем выше и правее лежит максимум резонансной кривой. При очень большом затухании (таком, что b 2 > 0 ) выражение для резонансной частоты становится мнимым. Это означает, что резонанс в этом случае не наблюдается — с увеличением частоты амплитуда монотонно убывает.