Сложение колебаний

Сложение колебаний

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты.

Результирующее колебание будет суммой колебаний х 1 и x 2 , которые определяются функциями (1) Представим оба колебания с помощью векторов A 1 и А 2 . Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор А. На рисунке видно, что проекция этого вектора на ось x равна сумме проекций складываемых векторов: Поэтому, вектор A представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью 0 , как и векторы А 1 и А 2 , так что сумма x 1 и х 2 является гармоническим колебанием с частотой ( 0 , амплитудой A и начальной фазой . Используя теорему косинусов получаем , что (2) Также, из рисунка видно, что (3) Представление гармонических колебаний с помощью векторов позволяет заменить сложение функций сложением векторов, что значительно проще.

Сложение колебаний во взаимно перпендикулярных направлениях.

Представим две взаимно перпендикулярные векторные величины x и y , изменяющиеся со временем с одинаковой частотой по гармоническому закону, то (1) Где e x и e у — орты координатных осей x и y , А и B — амплитуды колебаний.

Величинами x и у может быть, например, смещения материальной точки (частицы) из положения равновесия. В случае колеблющейся частицы величины (2) определяют координаты частицы на плоскости xy . Частица будет двигаться по некоторой траектории, вид которой зависит от разности фаз обоих колебаний.

Выражения (2) представляют собой заданное в параметрической форме уравнение этой траектории. Чтобы получить уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (2) параметр t . Из первого уравнения следует, что (3) Соответственно (4) Развернем косинус во втором из уравнений (2) по формуле для косинуса суммы: Подставим вместо cos t и sin t их значения (3) и (4): Преобразуем это уравнение (5) Это уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно координатных осей х и у. Ориентация эллипса и его полуоси зависят довольно сложным образом от амплитуд A и В и разности фаз . Попробуем найти форму траектории для нескольких частных случаев. 1. Разность фаз равна нулю. В этом случае уравнение (5) упрощается следующим образом: Отсюда получается уравнение прямой: Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой и амплитудой, равной (рис. 1 а). 2. Разность фаз равна ± . Из уравнение (5) имеет вид Следовательно, результирующее движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой (рис. 1 б) Рис.1 3. При уравнение (5) переходит в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям: Полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При равенстве амплитуд А и В эллипс превращается в окружность.

Разное

Подобные работы

Фотоэлектрические свойства нитрида алюминия

echo "Большинство из этих применений требуют использования детекторов, не чувствительных к солнечному свету; нужно детектировать только ультрафиолет и в идеале иметь нулевую чувствительность для более

Прямой цикл Карно. Тепловая изоляция

echo "Арестов А.П. Днепропетровск 1998 Прямой цикл Карно. Как известно, все тепловые двигатели, превращающие тепловую энергию в механическую, работают по круговым циклам или термодинамическим циклам –

Спектры и спектральный анализ в физике

echo "Солнечный спектр или спектр дугового фонаря является непрерывным. Это означает, что в спектре представлены все длины волн. В спектре нет разрывов, и на экране спектрографа можно видеть сплошную

Цвет и его свойства

echo "Физические свойства излучения – мощность и длина волны – тесно связаны со свойствами возбуждаемого им ощущения. С изменением мощности изменяется светлота, а с изменением дли волны цветность. Пе

Теоретическая механика (шпаргалка)

echo "Первые стремятся вызвать ускорение матер. точек. Другие - ограничивают движение. Они возникают как реакции системы на движение или на действие активных сил. Движение матер. точек может быть св

Вынужденные колебания

echo "Уравнение второго закона Ньютона при наличии силы трения имеет вид "; echo ''; echo " (1.2) Применим следующие обозначения "; echo ''; echo " "; echo ''; echo " (1.3) Тогда "; echo ''; echo " (1

Волны в упругой среде. Волновое уравнение

echo "Преподаватель: Степанюк Владислав Николаевич. г. Домодедово. 1999 год. СОДЕРЖАНИЕ. стр. Глава I. Волна. § 1. Понятие упругой волны. Поперечные и продольные волны. .............................

Биополе. Энергетическая система организма

echo "Далеко не каждый может разобраться во всех науках по первоисточникам и составить правильное мнение по всем этим вопросам. Это очень трудоёмко и непросто. К тому же соответствующая литература зач