Сложение колебаний

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты.

Результирующее колебание будет суммой колебаний х 1 и x 2 , которые определяются функциями (1) Представим оба колебания с помощью векторов A 1 и А 2 . Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор А. На рисунке видно, что проекция этого вектора на ось x равна сумме проекций складываемых векторов: Поэтому, вектор A представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью 0 , как и векторы А 1 и А 2 , так что сумма x 1 и х 2 является гармоническим колебанием с частотой ( 0 , амплитудой A и начальной фазой . Используя теорему косинусов получаем , что (2) Также, из рисунка видно, что (3) Представление гармонических колебаний с помощью векторов позволяет заменить сложение функций сложением векторов, что значительно проще.

Сложение колебаний во взаимно перпендикулярных направлениях.

Представим две взаимно перпендикулярные векторные величины x и y , изменяющиеся со временем с одинаковой частотой по гармоническому закону, то (1) Где e x и e у — орты координатных осей x и y , А и B — амплитуды колебаний.

Величинами x и у может быть, например, смещения материальной точки (частицы) из положения равновесия. В случае колеблющейся частицы величины (2) определяют координаты частицы на плоскости xy . Частица будет двигаться по некоторой траектории, вид которой зависит от разности фаз обоих колебаний.

Выражения (2) представляют собой заданное в параметрической форме уравнение этой траектории. Чтобы получить уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (2) параметр t . Из первого уравнения следует, что (3) Соответственно (4) Развернем косинус во втором из уравнений (2) по формуле для косинуса суммы: Подставим вместо cos t и sin t их значения (3) и (4): Преобразуем это уравнение (5) Это уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно координатных осей х и у. Ориентация эллипса и его полуоси зависят довольно сложным образом от амплитуд A и В и разности фаз . Попробуем найти форму траектории для нескольких частных случаев. 1. Разность фаз равна нулю. В этом случае уравнение (5) упрощается следующим образом: Отсюда получается уравнение прямой: Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой и амплитудой, равной (рис. 1 а). 2. Разность фаз равна ± . Из уравнение (5) имеет вид Следовательно, результирующее движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой (рис. 1 б) Рис.1 3. При уравнение (5) переходит в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям: Полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При равенстве амплитуд А и В эллипс превращается в окружность.