Методичні вказівки до виконання розрахунко роботи "дослідження за допомогою еом коливань системи з одним ступенем вільності"

Постановка задачі Методику дослідження малих коливань системи при дії негармонічної періодичної сили розглянемо на наступному прикладі. Механічна система, що зображена на рис.1, складається з трьох тіл масою та Така механ ічна система має один ступінь вільності. Нехай рух системи викликається періодичною збурюючи силою ) з параметрами - амплітуда збурюючой сили, і Будемо вважати, що рух системи починається із положення статичної рівноваги.

Розрахунки проведемо у наступному порядку: 1.1. За допомогою рівняння Лагранжа ІІ-го роду складемо рівняння руху механічної системи. За узагальнену приймемо координату , яка визначає положення тіла 1 відносно його положення статичної рівноваги: в’язкого опору руху підберемо із умови [ ], щоб вільні коливання системи згасали до 0,1 початкової амплітуди за час Початкові умови задачі візьмемо нульовими, так як рух системи починається із положення статичної рівноваги: 1.2. Визначимо (за допомогою ЕОМ) амплітудно-частотну (АЧХ) та фазово-частотну (ФЧХ) характеристики системи. 1.3. Розкладемо функцію в ряд Фур’є і визначимо (за допомогою ЕОМ) параметри гармонік в розкладенні. 1.4. Визначимо (за допомогою ЕОМ) рішення диференціального рівняння руху механичної системи для випадку, коли збурююча сила задається кусочно-лінійною функцією (“точне” рішення). Розглянемо також випадок, коли сила задається сумою гармонік. При цьому встановимо, при якому раціональному значенні функція визначається з 5% точністю (по відношенню до “точного рішення”). Проаналізуємо характер коливального процесу при різних значеннях 1.5. Користуючись АЧХ и ФЧХ системи та знайденими параметрами гармонік у розкладенні сили диференціального рівняння, руху механічної системи. При цьому встановимо, при якому раціональне значені аналітичне рішення визначається з 5% точністю по відношенню до “точного” рішення. Співставлення рішень будемо проводити для контрольного моменту часу 2. Складання диференціального рівняння вимушених коливань механічної системи. Рівняння вимушених коливань заданої механічної системи (рис.1) складемо за допомогою рівняння Лагранжа ІІ-го роду: ( ) де і - узагальнена координата та швидкість, і - кінетична і потенціальна енергії системи відповідно, - функція розсіювання, - узагальнена непотенціальна сила.

Складемо вираз кінетичної енергії системи в її довільному положенні, враховуючи, що тіло 1 виконує поступальний рух, а тіла 2 і 3 – обертальний рух; при цьому швидкості усіх тіл виразимо через узагальнену швидкість У виразі та - моменти інерції тіл 2 і 3 відносно центральної осі. Позначимо коефіцієнт - зведена маса системи. Тоді: ( ) Складемо вираз потенціальної енергії системи: - потенціальна енергія сил ваги, а - потенціальна енергія сил пружності, що діють на тіла системи.

Обчислемо потенціальну енергію системи в її довільному положенні як роботу потенціальних сил на переміщенні системи із довільного положення в положення статичної рівноваги: де тут - статичні подовження пружин; - зміна довжини відповідної пружини при відхиленні системи від стану статичної рівноваги; - подовження пружини в довільному положенні системи. Врахуємо, що Вираз потенціальної енергії системи та її похідної мають вигляд: При рівновазі системи ( Тоді вираз потенціальної енергії системи приймає вигляд: ( ) де Функцію розсіювання будемо вважати залежною від узагальненої швидкості де - коефіцієнт в’язкості (дисипативний коефіцієнт). До непотенціальних сил, що діють на систему, відноситься тільки збурююча сила Візьмемо відповідні похідні і складемо рівняння Лагранжа для заданої системи: ( ) де і Диференціальне рівняння ( ) представляє собою неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку відносно узагальненої координати Рішення задачі про дослідження вимушених коливань системи зводиться до рішення цього диференціального рівняння при заданих початкових умовах задачі. Оскільки у розглянутому випадку рух системи починається із стану статичної рівноваги, то початкові умови будуть нульовими: при ( ) Як відомо, аналітичне рішення рівняння ( ) складається із суми двох рішень Слід зауважити, що рішення в даному випадку (при відповідному підборі коефіцієнта Визначимо чисельні значення параметрів системи та коефіцієнтів в рівнянні ( ): . м –1 ; –1 ; . с . м –1 ; с –1 . Для перевірки вірності визначення коефіцієнту рекомендується підрахувати значення співмножника в рішенні при . 0,861 = 4,31с: Таке значення співмножника (наближене до нуля) в рішенні знайдено вірно. 3. Визначення амплітуднихта фазово-частотних характеристик системи.

Шляхом виведення, за допомогою ЕОМ, для заданої механічної системи з параметрами . м –1 ; 0,456кН . с . м –1 получимо (шляхом введення на друкарський пристрій – принтер) амплітуднота фазово-частотніх характеристики системи та приведемо їх на рис.2 і рис.3 (відповідно). 4. Розкладання функції F(t) в ряд Фур’є та визначення параметрів гармонік збурюючої сили.

Розкладемо функцію в ряд Фур’є: ( ) де Визначимо (за допомогою ЕОМ) параметри гармонік: амплітуди , частоти та початкової фази Для заданої сили “прямокутного” типу з параметрами значення параметрів гармонік наведені у табл.1. Таблиця 1.

Номер гармоніки,	кН		рад.
1	0,764	2	0
2	0,255	6	0
3	0,153	10	0
4	0,109	14	0
5	0,085	18	0

Визначимо за допомогою ЕОМ “точне” рішення диференціального рівняння для випадку, коли сила представлена однією гармонікою ( для відповідних випадків виводяться на екран ЕОМ. Перед виводом графіків на друкарський пристрій їх треба “промасштабувати”, тобто получити рішення на заданому відрізку інтегрування 0 рекомендується задавати рівним 8 для заданої механічної системи. Лінія 1 відображає “точне” рішення, а лінія 2 – рішення у випадку Із графіків видно, що функції получаються періодичними, тобто рух механічної системи получається періодичним-коливальним. І в першому, і в другому випадку при явно виражені дві частоти – одна дорівнює (див. лінію 2 для випадку ) значення 5.2. Підбір (за допомогою ЕОМ) раціональної кількості гармонік в розкладанні функції Визначимо (за допомогою ЕОМ) функції для випадків для “точного” рішення, а лініями 2 – графіки тих же функцій для випадків практично не відрізняється від “точного” рішення.