Лабораторная работа №3 по "Основам теории систем" (Теория двойственности в задачах линейного программирования)

Лабораторная работа №3 по "Основам теории систем" (Теория двойственности в задачах линейного программирования)

Запишем оптимальное решение: и оптимальное значение целевой функции: Экономически полученное решение интерпретируется следующим образом: для получения единицы сплава минимальной себестоимости необходимо взять 40% сырья №2 и 60% сырья №3. При этом сплав содержит ровно 30% олова, более 20% (точнее, 42%) цинка и менее 40% (28%) свинца.

Минимальная себестоимость единицы сплава составляет 5,28 у.е.

Математическая модель и экономический смысл двойственной задачи.

Задача, двойственная к исходной, строится следующим образом: 1) Исходная задача – на минимум, следовательно, двойственная задача – на максимум. 2) Матрица коэффициентов системы ограничений будет представлять собой транспонированную матрицу соответствующих коэффициентов исходной задачи. При этом все ограничения должны быть одного типа, например 'больше или равно'. Поэтому преобразуем второе и четвертое ограничения к типу 'больше или равно', умножив их на –1, затем транспонируем полученную матрицу: = > 3) Число переменных в двойственной задаче равно числу ограничений в исходной, т.е. 4, и наоборот, число ограничений в двойственной задаче равно числу переменных в исходной, т.е. 5. Переменная двойственной задачи соответствует первому ограничению исходной задачи, переменная – четвёртому. 4) Коэффициентами при переменных и в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены ограничений исходной задачи (все ограничения одного типа), т.е. вектор а правыми частями ограничений двойственной задачи являются коэффициенты целевой функции исходной задачи, т.е. вектор 5) Т.к. все переменные исходной задачи неотрицательны, то все ограничения двойственной задачи будут неравенствами типа « может принимать любые значения, а – только положительные. Таким образом, математическая модель двойственной задачи следующая: (4). Проанализируем теперь экономический смысл двойственной задачи. Для этого сначала рассмотрим экономический смысл переменных и имеет размерность [у.е./ед. сплава], величина не представляется возможным в силу условия задачи. Что касается экономического смысла переменных и Таким образом, экономический смысл ограничений заключается в следующем. Пусть, рассматриваемая фирма вместо того, чтобы производить сплав из указанных пяти видов сырья, решила, приобретя у некой другой фирмы цинк по цене и взяв у нее некоторое количество олова с доплатой и свинца с доплатой Целевая функция данной двойственной задачи экономически интерпретируется как максимальная прибыль фирмы-поставщика ресурсов.

Решение двойственной задачи. 1. Решение с помощью IBLP. Введя задачу в программу, получаем следующее оптимальное решение:

1 -0,3 0,1 -0,4 0 0 0 0 0
С в Б.П. Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Y 6 Y 7 Y 8 Y 9 В
1 Y 1 1 0 0,54 -0,46 0 -0,2 1,2 0 0 6,06
-0,3 Y 2 0 1 0,4 -0,6 0 -2 2 0 0 2,6
0 Y 5 0 0 -0,12 -0,12 1 -1,4 0,4 0 0 0,02
0 Y 8 0 0 -0,2 -0,2 0 0 -1 1 0 0,2
0 Y 9 0 0 -0,3 -0,3 0 0 -1 0 1 1,7
T 0 0 0,32 0,12 0 0,4 0,6 0 0 5,28
8 . 2. Решение по второй теореме двойственности.

Согласно второй теореме двойственности, планы (5) (6) Покомпонентно для наших задач эти соотношения записываются следующим образом: (5). (6) Из системы (5) видно, что во втором и третьем уравнениях в скобках получается ноль, поскольку и положительны, поскольку в третьем и четвёртом уравнениях в скобках получаются положительные числа. Из первого и третьего уравнений системы (5) имеем: откуда Таким образом, 3. Решение с помощью симплекс-таблицы исходной задачи.

Запишем еще раз оптимальную симплекс-таблицу исходной задачи:

4 4,5 5,8 6 7,5 0 0 0 M M
С в Б.П. X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 В
4,5 X 2 1,4 1 0 0 0 2 0 0 -0,2 0 0,4
0 X 8 0,12 0 0 0,2 0,3 0,6 0 1 -0,46 0 0,12
5,8 X 3 -0,4 0 1 1 1 -2 0 0 1,2 0 0,6
0 X 7 0,12 0 0 0,2 0,3 -0,4 1 0 0,54 -1 0,32
F -0,02 0 0 -0,2 -1,7 -2,6 0 0 -6,06 0 5,28
F M 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 0
Из теории известно, что справедливы следующие формулы: В системе ограничений (2) исходной задачи переменной соответствует первое ограничение, содержащее базисную переменную – второе, содержащее базисную переменную – третье, содержащее базисную переменную и – четвёртое с переменной и приведенной симплекс-таблицы: ; ; ; ; Теперь запишем условие (8) для нашего случая: , что покомпонентно записывается как: , , , , откуда С учетом того, что мы решали симплекс-методом не исходную задачу (1), а задачу в канонической форме (2), т.е. по оптимальной симплекс-таблице мы можем найти решение двойственной задачи к канонической форме исходной задачи.

Очевидно, задача в симметричной и канонической форме – две разные задачи, отличающиеся знаком и количеством ограничений в двойственных задачах. Более того, так как все ограничения в канонической задаче – равенства, то в двойственной задаче все могут быть любого знака, поэтому наши не являются ошибкой. Но нам необходимо решить не двойственную к канонической задаче, а двойственную к симметричной. Если сделать замену или 4. Решение через матрицу, обратную к базисной.

Оптимальное решение двойственной задачи можно найти по формуле . Получим: Откуда Таким образом, мы видим, что всеми четырьмя способами было получено одно и то же решение: ; . Экономическая интерпретация трех теорем двойственности.

Согласно первой теореме двойственности, если одна из пары двойственных задач имеет оптимальный план, то и другая имеет оптимальный план, причем значения функций цели при оптимальных планах равны между собой; если же целевая функция одной из задач неограниченна, то другая совсем не имеет планов, и наоборот. В нашем случае пара задач имеет оптимальные планы, значения целевых функций при которых равны 5,2 8 . Экономический смысл этого состоит в том, что в оптимальном плане минимальные затраты фирмы на производство тонны сплава равны максимальной прибыли некой другой фирмы от продажи первой фирме необходимых для производства ресурсов по условным ценам, равным двойственным оценкам этих ресурсов. Как было указано выше, вторая теорема двойственности заключается в выполнении соотношений дополняющей нежесткости в случае оптимальности планов пары задач (соотношения (5) и (6)). Приведем сначала экономическую интерпретацию условия (6). Каждому из четырёх 'ресурсов' исходной задачи соответствует его двойственная оценка, или условная цена ( и соответственно). В случае положительности двойственной оценки (в нашем случае и т.е. первый и второй 'ресурсы' используются полностью и являются дефицитными.

Следует оговориться, что первое равенство выполняется всегда, в противном случае задача не имеет решения. Это логически понятно, поскольку сумма частей всегда равна целому. Что касается третьего и четвёртого ресурсов, то они имеют нулевую двойственную оценку, т.е. эти ресурсы не является дефицитным.

Разное

Подобные работы

Лабораторная работа №3 по "Основам теории систем" (Теория двойственности в задачах линейного программирования)

echo "Запишем оптимальное решение: "; echo ''; echo " и оптимальное значение целевой функции: "; echo ''; echo " Экономически полученное решение интерпретируется следующим образом: для получения едини

Лабораторная работа №7 по "Основам теории систем" (Решение задачи коммивояжера методом ветвей и границ)

echo "Сказано – сделано. Спрыгнул колобок из окошка и покатился в лес. Помогите колобку найти кратчайший маршрут его движения по лесу, если расстояния между норами лесных жителей, а также домом деда

Лабораторная работа №5 по "Основам теории систем" (Транспортные задачи линейного программирования)

echo "Считая что "; echo ''; echo " "; echo ''; echo " "; echo ''; echo " "; echo ''; echo " количество мышей, проживающих в "; echo ''; echo " "; echo ''; echo " "; echo ''; echo " 1) "; echo ''; ech

Лабораторная работа №2 по "Основам теории систем" (Решение задач линейного программирования симплекс-методом. Варианты разрешимости задач линейного программирования)

echo "Данное решение является оптимальным. Изобразим это решение на графике: (2) F (4) (1) (3) X ( оп) X ( 2) X ( 3) X (4 ) "; echo ''; ech

"Принцип Максимума" Понтрягина

echo "Иногда рассматривают и более широкие классы допустимых управлений, например, класс всех ограниченных измеримых управлений, удовлетворяющих условию (1.2). Покажем, как при произвольном начальном

Лабораторная работа №4 по "Основам теории систем" (Послеоптимизационный анализ задач линейного программирования)

echo "Оптимальные двойственные оценки "; echo ''; echo " Теперь найдём область устойчивости двойственных оценок к изменению свободных членов ограничений. Как известно, область устойчивости двойственны

Лабораторная работа №6 по "Основам теории систем" (Решение задачи о ранце методом ветвей и границ)

echo "Требуется выбрать города, в которых можно получить максимальную прибыль от продажи спиртного. При этом суммарное расстояние от этих портов до порта с грузом не должно превышать 1000 миль. 2. Реш