Лабораторная работа №3 по "Основам теории систем" (Теория двойственности в задачах линейного программирования)

Запишем оптимальное решение: и оптимальное значение целевой функции: Экономически полученное решение интерпретируется следующим образом: для получения единицы сплава минимальной себестоимости необходимо взять 40% сырья №2 и 60% сырья №3. При этом сплав содержит ровно 30% олова, более 20% (точнее, 42%) цинка и менее 40% (28%) свинца.

Минимальная себестоимость единицы сплава составляет 5,28 у.е.

Математическая модель и экономический смысл двойственной задачи.

Задача, двойственная к исходной, строится следующим образом: 1) Исходная задача – на минимум, следовательно, двойственная задача – на максимум. 2) Матрица коэффициентов системы ограничений будет представлять собой транспонированную матрицу соответствующих коэффициентов исходной задачи. При этом все ограничения должны быть одного типа, например 'больше или равно'. Поэтому преобразуем второе и четвертое ограничения к типу 'больше или равно', умножив их на –1, затем транспонируем полученную матрицу: = > 3) Число переменных в двойственной задаче равно числу ограничений в исходной, т.е. 4, и наоборот, число ограничений в двойственной задаче равно числу переменных в исходной, т.е. 5. Переменная двойственной задачи соответствует первому ограничению исходной задачи, переменная – четвёртому. 4) Коэффициентами при переменных и в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены ограничений исходной задачи (все ограничения одного типа), т.е. вектор а правыми частями ограничений двойственной задачи являются коэффициенты целевой функции исходной задачи, т.е. вектор 5) Т.к. все переменные исходной задачи неотрицательны, то все ограничения двойственной задачи будут неравенствами типа « может принимать любые значения, а – только положительные. Таким образом, математическая модель двойственной задачи следующая: (4). Проанализируем теперь экономический смысл двойственной задачи. Для этого сначала рассмотрим экономический смысл переменных и имеет размерность [у.е./ед. сплава], величина не представляется возможным в силу условия задачи. Что касается экономического смысла переменных и Таким образом, экономический смысл ограничений заключается в следующем. Пусть, рассматриваемая фирма вместо того, чтобы производить сплав из указанных пяти видов сырья, решила, приобретя у некой другой фирмы цинк по цене и взяв у нее некоторое количество олова с доплатой и свинца с доплатой Целевая функция данной двойственной задачи экономически интерпретируется как максимальная прибыль фирмы-поставщика ресурсов.

Решение двойственной задачи. 1. Решение с помощью IBLP. Введя задачу в программу, получаем следующее оптимальное решение:

Согласно второй теореме двойственности, планы (5) (6) Покомпонентно для наших задач эти соотношения записываются следующим образом: (5). (6) Из системы (5) видно, что во втором и третьем уравнениях в скобках получается ноль, поскольку и положительны, поскольку в третьем и четвёртом уравнениях в скобках получаются положительные числа. Из первого и третьего уравнений системы (5) имеем: откуда Таким образом, 3. Решение с помощью симплекс-таблицы исходной задачи.

Запишем еще раз оптимальную симплекс-таблицу исходной задачи:

Очевидно, задача в симметричной и канонической форме – две разные задачи, отличающиеся знаком и количеством ограничений в двойственных задачах. Более того, так как все ограничения в канонической задаче – равенства, то в двойственной задаче все могут быть любого знака, поэтому наши не являются ошибкой. Но нам необходимо решить не двойственную к канонической задаче, а двойственную к симметричной. Если сделать замену или 4. Решение через матрицу, обратную к базисной.

Оптимальное решение двойственной задачи можно найти по формуле . Получим: Откуда Таким образом, мы видим, что всеми четырьмя способами было получено одно и то же решение: ; . Экономическая интерпретация трех теорем двойственности.

Согласно первой теореме двойственности, если одна из пары двойственных задач имеет оптимальный план, то и другая имеет оптимальный план, причем значения функций цели при оптимальных планах равны между собой; если же целевая функция одной из задач неограниченна, то другая совсем не имеет планов, и наоборот. В нашем случае пара задач имеет оптимальные планы, значения целевых функций при которых равны 5,2 8 . Экономический смысл этого состоит в том, что в оптимальном плане минимальные затраты фирмы на производство тонны сплава равны максимальной прибыли некой другой фирмы от продажи первой фирме необходимых для производства ресурсов по условным ценам, равным двойственным оценкам этих ресурсов. Как было указано выше, вторая теорема двойственности заключается в выполнении соотношений дополняющей нежесткости в случае оптимальности планов пары задач (соотношения (5) и (6)). Приведем сначала экономическую интерпретацию условия (6). Каждому из четырёх 'ресурсов' исходной задачи соответствует его двойственная оценка, или условная цена ( и соответственно). В случае положительности двойственной оценки (в нашем случае и т.е. первый и второй 'ресурсы' используются полностью и являются дефицитными.

Следует оговориться, что первое равенство выполняется всегда, в противном случае задача не имеет решения. Это логически понятно, поскольку сумма частей всегда равна целому. Что касается третьего и четвёртого ресурсов, то они имеют нулевую двойственную оценку, т.е. эти ресурсы не является дефицитным.