Движение в центральном симметричном поле

Действительно, поскольку направление действующей на частицу силы проходит через центр поля, то равно нулю плечо силы относительно этой точки, а потому равен нулю и момент силы.

Согласно уравнению отсюда следует, что L = const . (где L – вектор момента импульса, а K момент силы K = [ rF ]. Уравнение получается из уравнения L = [ rp ]. Определим производную по времени от момента импульса частицы.

Согласно правилу дифференцирования произведения имеем Так как - есть скорость v частицы, а p = mv , то первый член есть m [ vv ] и равен нулю, поскольку равно нулю векторное произведение любого вектора самого на себя. Во втором члене производная - есть, как мы знаем, действующая на частицу сила F . Таким образом, Поскольку момент L = m [ rv ] перпендикулярен направлению радиуса-вектора r , то из постоянства направления L следует, что при движении частицы ее радиус-вектор должен оставаться все время в одной плоскости - плоскости, перпендикулярной направлению L. Таким образом, в центральном поле частицы движутся по плоским орбитам - орбитам, лежащим в плоскостях, проходящих через центр поля.

Данное уравнение можно записать в виде:

Площадь же параллелограмма, построенного на векторах ds и r , есть удвоенная площадь бесконечно узкого сектора OAA ’ , описанного радиусом-вектором дв и жущейся точки за время dt . Обозначив эту площадь через dS , можно записать велич и ну момента в виде Величина называет ся секториальной ско ростью.

Задача о движении в центральном поле в особенности важна потому, что к ней свод и тся задача об относительном движении двух взаимодействующих друг с другом материальных точек - так называемая задача двух тел. Если рассмотреть это движение в системе центра инерции обеих частиц. В этой системе отсчета суммарный импульс частиц равен нулю: m 1 v 1 + m 2 v 2 =0, где v 1 ,v 2 - скорости част и ц.

Введем также относ и тельную скорость частиц v = v 1 -v 2 . Из этих двух равенств получаются следующие формулы формулы в ы ражающие скорости каждой из частиц через их относит е льную скор о сть.

Подставив эти формулы в выражение полной энергии частиц получим где U ( r ) - взаимная потенциальная энергия частиц как функция их относительного расстояния r . После простого приведения членов получим , где m обозначает вели чину называемую приведенной массой частиц. Мы видим, что энергия относительного движения двух частиц такая же, как если бы одна частица с массой m дви галась со скоростью в центральном внешнем поле с потенциальной энергией U ( r ) . Другими словами, задача о движении двух частиц сводится к задаче о движении одной «приведенной» частицы во внешнем поле.

Постановка задачи . Рассмотрим энергию материальной точки в центральном поле сил. (скорость) в полярных координатах Рассмотрим треугольник ABD : ds ~ AB , следовательно , откуда получаем Выразим (*) Осталось выразить характер траектории (**) Подставим выражение (*) в (**) Проинтегрируем Эта формула представляет собой траекторию движения частицы в центральном симметричном поле.

Рассмотрим уравнение движения для случая кулоновского поля. где Попробуем найти этот интеграл предварительно сделав замену Сделаем замену тогда Далее применим формулу В итоге получаем , где Это уравнение конического сечения с фокусом в центре поля. При e >1 – гипербола; e =1 – парабола; 0 e e =0 – окружность; Литература : 1. Л. Д. Ландау, А. И. Ахиезер, Е. М. Лифшиц «Курс общей физики.