Движение в центральном симметричном поле

Движение в центральном симметричном поле

Действительно, поскольку направление действующей на частицу силы проходит через центр поля, то равно нулю плечо силы относительно этой точки, а потому равен нулю и момент силы.

Согласно уравнению отсюда следует, что L = const . (где L – вектор момента импульса, а K момент силы K = [ rF ]. Уравнение получается из уравнения L = [ rp ]. Определим производную по времени от момента импульса частицы.

Согласно правилу дифференцирования произведения имеем Так как - есть скорость v частицы, а p = mv , то первый член есть m [ vv ] и равен нулю, поскольку равно нулю векторное произведение любого вектора самого на себя. Во втором члене производная - есть, как мы знаем, действующая на частицу сила F . Таким образом, Поскольку момент L = m [ rv ] перпендикулярен направлению радиуса-вектора r , то из постоянства направления L следует, что при движении частицы ее радиус-вектор должен оставаться все время в одной плоскости - плоскости, перпендикулярной направлению L. Таким образом, в центральном поле частицы движутся по плоским орбитам - орбитам, лежащим в плоскостях, проходящих через центр поля.

Данное уравнение можно записать в виде:

где ds - вектор перемещения материальной точки за время dt . Величина векторного про и з в еде шь двух векторов геометрически представляет собой лощадь построенного на них параллелограмма.

Площадь же параллелограмма, построенного на векторах ds и r , есть удвоенная площадь бесконечно узкого сектора OAA ’ , описанного радиусом-вектором дв и жущейся точки за время dt . Обозначив эту площадь через dS , можно записать велич и ну момента в виде Величина называет ся секториальной ско ростью.

Задача о движении в центральном поле в особенности важна потому, что к ней свод и тся задача об относительном движении двух взаимодействующих друг с другом материальных точек - так называемая задача двух тел. Если рассмотреть это движение в системе центра инерции обеих частиц. В этой системе отсчета суммарный импульс частиц равен нулю: m 1 v 1 + m 2 v 2 =0, где v 1 ,v 2 - скорости част и ц.

Введем также относ и тельную скорость частиц v = v 1 -v 2 . Из этих двух равенств получаются следующие формулы формулы в ы ражающие скорости каждой из частиц через их относит е льную скор о сть.

Подставив эти формулы в выражение полной энергии частиц получим где U ( r ) - взаимная потенциальная энергия частиц как функция их относительного расстояния r . После простого приведения членов получим , где m обозначает вели чину называемую приведенной массой частиц. Мы видим, что энергия относительного движения двух частиц такая же, как если бы одна частица с массой m дви галась со скоростью в центральном внешнем поле с потенциальной энергией U ( r ) . Другими словами, задача о движении двух частиц сводится к задаче о движении одной «приведенной» частицы во внешнем поле.

Постановка задачи . Рассмотрим энергию материальной точки в центральном поле сил. (скорость) в полярных координатах Рассмотрим треугольник ABD : ds ~ AB , следовательно , откуда получаем Выразим (*) Осталось выразить характер траектории (**) Подставим выражение (*) в (**) Проинтегрируем Эта формула представляет собой траекторию движения частицы в центральном симметричном поле.

Рассмотрим уравнение движения для случая кулоновского поля. где Попробуем найти этот интеграл предварительно сделав замену Сделаем замену тогда Далее применим формулу В итоге получаем , где Это уравнение конического сечения с фокусом в центре поля. При e >1 – гипербола; e =1 – парабола; 0 e e =0 – окружность; Литература : 1. Л. Д. Ландау, А. И. Ахиезер, Е. М. Лифшиц «Курс общей физики.

Разное

Подобные работы

Мир в котором мы живем (путешествие в глубь материи)

echo "Отправной точкой в её странствиях всегда была Земля. Когда-то и она казалась необозримо большой и граница видимого горизонта считалась краем света. Но в 1521 г. завершилось первое кругосветное п

Фотоэлектрические свойства нитрида алюминия

echo "Большинство из этих применений требуют использования детекторов, не чувствительных к солнечному свету; нужно детектировать только ультрафиолет и в идеале иметь нулевую чувствительность для более

Оптические явления в природе

echo "Именно такой точный смысл слова «оптика». В средние века оптика постепенно из науки о зрении превратилась в науку о свете, этому способствовало изобретение линз и камеры-обскуры. В современное в

Спектры и спектральный анализ в физике

echo "Солнечный спектр или спектр дугового фонаря является непрерывным. Это означает, что в спектре представлены все длины волн. В спектре нет разрывов, и на экране спектрографа можно видеть сплошную

Биополе. Энергетическая система организма

echo "Далеко не каждый может разобраться во всех науках по первоисточникам и составить правильное мнение по всем этим вопросам. Это очень трудоёмко и непросто. К тому же соответствующая литература зач

Нейроподобный элемент нейрон

echo "Взвешенные весами связей входные сигналы поступают на блок суммации, соответствующий телу клетки, где осуществляется их алгебраическая суммация и определяется уровень возбуждения нейроподобного

Движение в центральном симметричном поле

echo "Действительно, поскольку направление действующей на частицу силы проходит через центр поля, то равно нулю плечо силы относительно этой точки, а потому равен нулю и момент силы. Согласно уравнен

Оптика глаза

echo "Исследование показывает, что более 95% младенцев рождается с нормальным зрением и без дефектов глаз. Но, как видно из таблицы 1, очень малый процент их достигает пожилого возраста со зрением, ко